200 yıllık imkansız matematik problemi çözüldü
Profesör Norman Wildberger’in geliştirdiği yol, beşinci dereceden ve daha yüksek dereceli polinom denklemlerinin tahliline yönelik ezberleri bozuyor.
YÜZYILLIK SORUNDA DÖNÜM NOKTASI
Polinomlar, içindeki değişkenlerin (örneğin x) farklı derecelerde üslü olduğu denklemler olarak biliniyor.
Bu cins denklemler yalnızca teorik matematikte değil, gezegen hareketlerinin hesaplanmasından yazılım kodlamaya kadar pek çok alanda kullanılıyor. Lakin x’in beşinci kuvveti ve üzeri içeren yüksek dereceli polinomlar için kozmik bir tahlil formülü bugüne kadar geliştirilememişti.
UNSW Onursal Profesörü Norman Wildberger ve bilgisayar bilimci Dr. Dean Rubine’in birlikte yayımladığı çalışmada, bu meseleye “radikal” olmayan, yani irrasyonel sayılardan kaçınan yenilikçi bir yaklaşım öneriliyor.
KÖKLERE DAYALI KLASİK SİSTEMLER YETERSİZ KALDI
İkinci dereceden denklemler M.Ö. 1800’lü yıllarda Babil’de “tam kare tamamlama” usulüyle çözülmeye başlanmış, bu yol vakitle lise seviyesinde öğretilen klasik ikinci derece denklem formülüne dönüşmüştü.
16. yüzyılda bu teknik üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlere de uygulanmıştı. Lakin 1832 yılında Fransız matematikçi Évariste Galois, beşinci derece ve üzerindeki denklemler için genel bir tahlil formülünün mümkün olmadığını ortaya koymuştu.
Bu tarihten sonra yaklaşık tahliller geliştirildi fakat Wildberger’e nazaran bu tahliller saf cebirsel prosedürlerin dışındaydı.
RADİKAL SAYILARIN REDDİ YENİ KAPILARI AÇTI
Prof. Wildberger, çözümün radikaller – yani esaslı tabirler – kullanılmadan geliştirilmesi gerektiğini savunuyor. Ona nazaran, üçüncü dereceden kök yedi üzere sözler irrasyonel sayılara dayanıyor ve bu da sonsuz ondalıklar nedeniyle hiçbir vakit tam manasıyla hesaplanamıyor. Wildberger bu nedenle irrasyonel sayıların matematikte mantıksal sıkıntılara yol açtığını belirtiyor.
Bu bakış açısı, onun daha evvel geliştirdiği “rasyonel trigonometri” ve “evrensel hiperbolik geometri” üzere alanlarda da temel alınmıştı. Yeni formülde ise polinomların sonsuz terimli uzantıları olan “kuvvet serileri” kullanılıyor. Bu seriler muhakkak bir noktada kesilerek, tahlilin doğruluğu yaklaşık sayılarla denetim edilebiliyor.
YENİ SAYI DİZİLERİYLE TAHLİLE ULAŞILDI
Wildberger’in metodu, klasik tahlil prosedürlerinden farklı olarak, kombinatorik sayı dizileri üzerinden çalışıyor.
Özellikle çokgenlerin üçgenlere bölünme biçimlerini açıklayan “Catalan sayıları”ndan yola çıkılarak, bu sayıların çok boyutlu uzantıları geliştirildi.
“Geode” ismi verilen bu yeni sayı dizisinin, beşinci dereceden denklemler dâhil olmak üzere yüksek dereceli polinomlara genel tahlil sunduğu tabir ediliyor.
Uygulamalı matematik için yeni algoritmalar geliştirebilir
Wildberger, geliştirdikleri metodun yalnızca teorik değil, uygulamalı matematikte de geniş kullanım alanlarına sahip olabileceğini vurguladı. Yeni metodun, bilgisayar programlarında denklemlerin radikaller yerine kuvvet serileriyle çözülmesini mümkün kılabileceği belirtiliyor.
Geode dizisinin, gelecekte matematiksel kombinatorik alanında birçok yeni araştırmanın önünü açması bekleniyor.
“BU YALNIZCA BİR BAŞLANGIÇ”
Prof. Wildberger, “Geode dizisini tanıtarak klasik Catalan sayılarını genişlettik. Bu keşfin, cebirin temel bir kısmında esaslı bir revizyon manasına geldiğini düşünüyoruz. Bu daha başlangıç, keşfedilecek çok fazla alan var” sözlerini kullandı.
